1 Capítulo 10 Transformaciones Lineales EL tema central de este capítulo es el estudio de una clase de funciones especiales, llamadas transformaciones lineales Una de las características importantes de las transformaciones lineales es que están totalmente determinadas por sus valores en una base cualquiera del espacio Además en los espacios de dimensión finita (como es el caso que nos ocupa) toda transformación lineal puede ser representada por una matriz y recíprocamente a toda matriz se le puede asociar una transformación lineal Por ejemplo cuando se estudian sistemas de ecuaciones lineales donde el recurso fundamental es la teoría de matrices, se puede establecer una conexión inmediata con las transformaciones lineales para ver que la solución de un sistema homogéneo es el núcleo de una transformación lineal, y que la solución de un sistema no homogéneo son las preimágenes bajo una transformación lineal de un cierto vector fijo Otras veces un enfoque basado en el lenguaje de las transformaciones lineales nos permite deducir fácil y elegantemente, propiedades relativas a las matrices Aparte de lo anteriormente expuesto, el estudio de las trans- 289
2 290 Transformaciones Lineales formaciones lineales cobra mayor interés en razón de que cuando una transformación entre espacios de dimensión finita no es lineal, se acostumbra bajo ciertas hipótesis, aproximarlas por la suma de una transformación lineal más una constante Este procedimiento es típico en numerosos problemas tanto de matemática como de otras ciencias 101 Concepto de transformación lineal Definición 101 (Transformación lineal) Sean V y W ev sobre IR; se llama transformación lineal de V a W (que abreviamos con tl de V a W ), a toda función T : V W que satisface para todo v, u V y α IR lo siguiente: (a) T (αv) = αt (v) (decimos que T saca el escalar α) (b) T (v + u) = T (v) + T (u) (T preserva las operaciones suma de los espacios vectoriales) Notación: Se denota al conjunto de las transformaciones lineales de V a W por L(V, W ) y si V = W se escribe L(V ) en lugar de L(V, V ) Ejemplo 101 Sea T : IR 2 IR 3 una función definida por: Comprobar que T L(IR 2, IR 3 ) Solución T saca el escalar: T (x, y) = (x + y, x y, y) T (α(x, y)) = T (αx, αy) = (αx + αy, αx αy, αy) = α(x + y, x y, y) = αt (x, y)
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5 102 Relación entre transformaciones y matrices Relación entre transformaciones y matrices Cada matriz en M(m, n, IR) determina una única transformación en L(IR n, IR m ), e inversamente, cada transformación lineal en L(IR n, IR m ) se puede asociar a una matriz A M(m, n, IR), única si fijamos una base para cada espacio, lo cual se explicará más adelante Esta asociación entre transformaciones y matrices se expresa por medio de una función biyectiva que preserva ciertas operaciones (esto es, el isomorfismo entre tl y matrices), lo cual permite afirmar que que transformaciones lineales y matrices son objetos matemáticos idénticos En primer término observemos que a toda matriz define una transformación lineal 1021 Toda matriz define una transformación lineal Sea A una matriz de tamaño m n A la matriz A le asociamos la transformación lineal: T A : IR n IR m tal que T A (x) = Ax x IR n Claramente T A es lineal En efecto: T A (αx + y) = A(αx + y) = αax + Ay = αt A (x) + T A (y) De lo anterior podemos concluir que toda matriz de tamaño m n puede verse como una transformación lineal de IR n en IR m En estos casos conviene representar los vectores de los espacios IR n como vectores columna Ejemplo 104 La transformación T : IR 3 IR 2, obtenida en el ejemplo 102 es de la forma T A (x) = Ax, porque puede ser escrita como: T x y x + z = = x y x + y z z z
13 102 Relación entre transformaciones y matrices = (I 3 [I] B 2 ) De donde se obtiene la matriz de cambio de base buscada: [I] B 2 = Observe que [(0, 1, 3) t ] B1 = (1, 1, 1) t y que el producto: = produce el vector de coordenadas de (0, 1, 3) t en la base B Composición de tl y producto matricial Con la representación matricial de las transformaciones lineales se obtiene una correspondencia directa entre la composición de transformaciones lineales y la multiplicación matricial Definición 105 (Composición de transf lineales) Dados los espacios vectoriales V, W y U y dos tl S L(V, W ) y T L(W, U): S V W T U Se define la función T S : V U por (T S)(x) = T (S(x)) x V Se comprueba fácilmente que T S es lineal y además que la composición de transformaciones es asociativa, esto es: si V 1 T 1 V 2 T 2 V 3 T 3 V 4 entonces (T 3 T 2 ) T 1 = T 3 (T 2 T 1 )
22 310 Transformaciones Lineales Por lo tanto k = a b c y r = d a + b + c b [T (z)] C = c a b c d a + b + c = 2a b d d + b a b + 3c + 2d Luego T (z) = (2a b d, d + b a, b + 3c a + 2d) 1032 Inyectividad y sobreyectividad La secuencia de teoremas que siguen (1010,,1013) conforman una sola unidad en cuanto que establecen las relaciones básicas entre las propiedades de inyectividad y sobreyectividad con el núcleo y las dimensiones de los espacios involucrados Como veremos, estos resultados nos permitirán comprender mejor la naturaleza de las transformaciones lineales Definición 109 (Inyectividad y Sobreyectividad) Sea f : A B, una función del conjunto A al conjunto B a) Se dice que f es inyectiva si todo elemento z B tiene a lo más una preimagen x A, z = f(x), o equivalentemente si: f(x) = f(y) = x = y b) f es sobreyectiva si todo elemento z B es imagen de algún x A, o sea, Img (f) = B Equivalentemente, f es sobreyectiva si la ecuación en la variable x: f(x) = z tiene solución z B c) Cuando f es inyectiva y sobreyectiva se dice que f es biyectiva
33 104 Ejercicios Sea T : IR n IR m lineal Si B = u 1,, u n es base de IR n 1 Demuestre que Img (T ) = CT (u 1 ),, T (u n ) 2 Si T es inyectiva entonces T (u 1 ),, T (u n ) es li 3 Si A es la matriz de T en las bases canónicas respectivas, demuestre que las columnas de A generan Img (T ) 4 Si A = Encuentre bases para Img (T ), Nuc (T ) 12 Sea B = (1, 1, 0) t, (0, 1, 1) t, (1, 0, 1) t una base y la transformación lineal T : IR 3 IR 3, definida por: T [(1, 1, 0) t ] = (2, 0, 1) t, T [(0, 1, 1) t ] = (0, 1, 1) t, T [(1, 0, 1) t ] = (4, 1, 3) t i) Determine [T ] C B, donde C es la básica canónica de IR3 ii) Use i) para determinar la fórmula general de T [(x, y, z) t ], iii) Calcule una base para el núcleo de T T es sobreyectiva? Justifique 13 Sean B = v 1, v 2 y D = w 1, w 2 bases de IR 2 tales que w 1 = v 1 v 2 y w 2 = 3v 1, y considere las transformaciones lineales: I : IR 2 IR 2 la transformación identidad 1 0 T : IR 2 IR 2 tal que [T ] D B = 2 1 a) Calcule [I] D B b) Encuentre [T ] B c) Calcule [T (2v 1 v 2 )] D d) Si w 1 = (1, 2) t y w 2 = (0, 1) t, determine T (2v 1 v 2 ) 14 Sean V, W subespacios de IR n de igual dimensión y T : V W, lineal Demuestre que: T es inyectiva si y sólo si T es sobreyectiva
37 104 Ejercicios Considere las transformaciones lineales T R y T S definidas por: 1 0 1/2 R = y S = 3/ /2 1/2 a) Que tipo de movimientos realizan T R y T S b) Encuentre C tal que T C realiza un movimiento equivalente a realizar T S y luego T R c) Muestre que T C preserva norma 26 Sea la transformación lineal T A (x, y) = (x + ky, y) (llamada deslizamiento de factor k en la dirección x) 1 Haga un gráfico que muestre el efecto de T A en la base canónica 2 Encuentre A 3 Si T B es la tl que rota en un ángulo θ Encuentre la tl T C que rota y luego desliza 27 Sea T A tal que su imagen sobre la recta L i generada por e i que pasa por el origen, es la recta T A (L i ) rotada 30 grados con respecto a L i en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, i = 1, 2 1 Encuentre la matriz A Note que hay varias respuestas que dependen de dos parámetros 2 Muestre que las únicas transformaciones T L(IR 2 ) que transforman rectas L que pasan por cero en rectas T (L), rotadas 30 grados respecto a L, en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, son las determinadas en 1 28 En cada caso, determine la transformación T : IR 3 IR 3, es decir, determine la matriz A tal que T (x) = Ax: 1 T es una rotación derecha 2 de ángulo θ sobre el eje y 2 T es una reflexión sobre el plano y = 0 3 T es una rotación derecha de ángulo θ sobre el eje generado por v = (1, 0, 1) 2 Una rotación sobre el eje determinado por el vector v se dice que es derecha si corresponde al giro normal de atornillar e izquierda al de desatornillar
Definiciones y ejemplos. Matriz asociada a una aplicación lineal. Núcleo e imagen. Cambios de base. Espacio vectorial cociente.teoremas de isomorfía. El espacio de las aplicaciones lineales. Ejemplos de
Unidad 9 ap l i c a c i o n e s d e l a s transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Relacionará algunas transformaciones especiales con movimientos geométricos de vectores 2ff7e9595c
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